Archive for Matematika Dasar

Matematika Dasar

Fungsi Matematika dipelajari adalah sebagai dasar perhitungan berbagai bidang disiplin ilmu.

 

Buku Yang digunakan:

  1. Kalkulus
  2. Geometrik dan Analisis

 

Sistem penilaian:         1.         Partisipasi                    ±          5 %

2.         Tugas / Kuis                ±          10 %

3.         UTS                             ±          35 %

4.         UAS                            ±          50 %

 

Setiap mahasiswa diwajibkan hadir minimal 70% dari kehadiran dosen sebagai syarat diperkenankan mengikuti UAS.

 

 

SISTEM BILANGAN

Berbagai macam system bilangan yang ada:

  1. Bilangan Asli, misal: 1, 2, 3, 4, 5 …
  2. Bilangan cacah, missal: 0, 1, 2, 3, 4, 5 …
  3. Bilangan Positif & Negatif, misal: … , 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, …
  4. Bilangan Rasional dan Pecahan, misal: ½, ¼ atau  -½, -¼
  5. Bilangan Irrasional, misal:   = 1,41423;
  6. Bilangan Riil / Nyata
    1. Pecahan decimal terputus; misal: 2,37 = ; 0,25 =
    2. Pecahan decimal tak terputus, misal: 0,3333 atau
  7. Bilangan komplek, rumus: Z = R + I

R = bilangan riil menjadi sebuah resistant

I = bilangan imaginer

Contoh: Z = 5 + i6

 

SIFAT OPERASI MATEMATIKA

  1. Hukum Komulatif, adalah X + Y = Y = X dan XY = YX dimana X dan Y bilangan riil.
  2. Hukum Asosiatif, adalah X + (Y + Z) = (X + Y) + Z dan X(YZ) = (XY)Z
  3. Hukum Distributif, adalah X (Y + Z) = XY + XZ
  4. Elemen identitas terdapat 2 bilangan riil yang berlainan yaitu 0 dan 1 yang memenuhi X + 0 = X dan X + 1 = X
  5. Hukum Balikan / Invers adalah setiap bilangan X mempunyai  balikan penambahan (juga disebut negative), yaitu –X kecuali 0 mempunyai invers  (balikan perkalian). Disebut juga kebalikan : X -1 yang memenuhi; Sebagaimana X . X -1 = 1 => X (1-1) = 1 => X0 = 1.

 

PENGURANGAN DAN PEMBAGIAN

Didefinisikan dengan x – y = x + (-y) dan = x . y -1

Catatan:

  • Berlaku hokum untuk mendahulukan operasi yang berada di dalam kurung semisal: x+ (y + z) -> Maka harus mendahulukan (y + z)
  • Suatu bilanga dibagi nol “0” dikatakan tidka terdefinisi / tak terhingga atau dikatakan tidak mempunyai arti.

 

PEMANGKATAN BILANGAN DAN PEMFAKTORAN

Xn = X1 . X2 . X3 . X4 . …  Xn

Dengan            n = Suku bilangan

X = Variable / bilangan nyata

 

Misalnya          53 =  51 . 52 . 53  = 125

 

X-1 = =

 

X0 = 1

 

= =             misal:  =

 

Dengan syarat:            n adalah bilangan nyata

m adalah bilangan bulat positif

 

=didefinisika sebagai angar pangkat ke n dari X

 

=  atau    atau

 

Misalnya:          = =  = 93 = 279

= =  = 51 = 5

= =  =  =  =

 

ATURAN PERPANGKATAN

1.         Xm . Xn = X m + n

2.         = X m – n

3.         [ Xm]n = X (m . n)

4.         [X . Y]n =  Xn . Yn

5.         =  => X ≠ 0

6.          =  akar pangkat n dari X

7.          =

8.         X-n =

Perpangkatan khusus:

9.         X1 = X

10.       X0 = 1  => X ≠ 0

11.       1n = 1

 

PEMFAKTORAN

Suatu fator adalah satu diantara pengali-pengali yang terpisah dalam suatu hasil kali.

Misal:  ab + ac dapat difaktorkan menjadi a (b + c)

X2 + X – 6       => (X  + 3)(X – 2)

=> X = -3 dan X = 2

 

Catatan: (a + b)2          = (a + b) (a + b)

= a2 + 2 ab + b2

 

 

 

SISTEM BASIS BILANGAN

System bilangan adalah suatu cara untuk mewakili sebuah item fisik.

Computer mengenal 4 sistem bilangan:

  1. Sistem bilangan binary
  2. Sistem bilangan octal
  3. Sistem bilangan decimal
  4. Sistem bilangan hexadecimal

 

Catatan:           Bilangan integer adalah bilangan bulat positif dan negative

Bilangan float adalah bilangan bulan positif dan negative meliputi pecahan

 

Bilangan Desimal

Sistem bilangan decimal adalah system bilangan yang menggunakan symbol bilangan dari 0 s/d 9 (sebanyak 10 bilangan). Meliputi bilangan integer (bulat) decimal maupun pecahan decimal.

 

Contoh:

Bilangan 8598d dapat diartikan

 

8

x          103 =     8000

5

x          102 =       500

9

x          101 =         90

8

x          100 =           8

=     8598

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh lain:

Bilangan 389d (“d” mengartikan decimal), dapat diartikan:

 

3

x          102 =     300

8

x          101 =       80

9

x          100 =         9

=     389

 

Posisi Digit (dari kanan)

Position Value

1

100       =            1

2

101       =          10

3

102       =        100

4

103       =      1000

5

104       =    10000

 

Sehingga dapat diartikan:

389d = (3 x 103) + (8 x 102) +(9 x 101) = 300 + 80 + 9 = 389d

 

Pecahan Desimal

Adalah nilai decimal yang mengandung nilai pecahan (bilangan di belakang koma “,”)

 

Contoh:

183,75d yang dapat diartikan

 

1

x          102 =     100

8

x          101 =       80

3

x          100 =         3

7

x          10-1 =      0,7

5

x          10-2 =        ,05

  =    183,75

 

 

Sistem Bilangan Biner

Adalah system bilangan yang menggunakan dua buah digit bilangan saja, yaitu bilangan 0 dan 1

Contoh:

Bilangan 1001b atau 10012

Dinyatakan dalam bentuk decimal

1 0 0 1

1

x          20 =    1 x 1           = 1

0

x          21 =    0 x 2           = 0

0

x          22 =    0 x 4           = 0

1

x          23 =    1 x 8           = 8  +

                            = 9d

Sebagaimana bilangan decimal bilangan binary diatas dapat dikelompokkan menjadi 2 bagian yaitu position value dan absolute value

 

Posisi Digit (dari kanan)

Position Value

1

20          =            1

2

21          =            2

3

22          =            4

4

23          =            8

5

24          =          16

 

Dapat pula dituliskan dalam bentuk persamaan adalah sebagai berikut:

= an.2n-1 + an-1.2n-2 + an-2.2n-3 + an-3.2n-4  dengan n (banyak digit) = 4 pada bilangan 1001

= 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

= 8 + 0 + 0 + 1

= 9

 

Contoh:

Rubahlah dalam bentuk decimal bilangan:

  • 1100    =          (1 x 23) +(1 x 22) +(0 x 21)+(0 x 20)    = 8 + 4             = 12
  • 1011    =          (1 x 23) +(0 x 22) +(1 x 21)+(1 x 20)    = 8 + 0+2+1    = 11
  • 1001    =          (1 x 23) +(0 x 22) +(0 x 21)+(1 x 20)    = 8 + 1             = 9
  • 1010    =          (1 x 23) +(0 x 22) +(1 x 21)+(0 x 20)    = 8 + 0+2+0    = 10
  • 101101=          (1 x 25) +(0) +(1 x 23)+(1 x 22) +(0) +(1 x 20) = 32+8+4+1= 45
  • 10001  =          (1 x 24) +(0) +(0)+(0)+(1 x 20)            = 16 + 1           = 17

 

Sistem bilangan oktal

Adalah system bilangan yang menggunakan 8 digit sebagai symbol bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 atau dikatakan bilangan basis 8. Positian value yang digunakan adalah perpangkatan dari angka 8, sebagai berikut:

 

Posisi Digit (dari kanan)

Position Value

1

80          =            1

2

81          =            8

3

82          =          64

4

83          =        512

5

84          =      4096

 

Sehingga:

Bilangan 1213o atau 12138

Dinyatakan dalam bentuk decimal

1 2 1 3

3

x          80 =    3 x 1           = 3

1

x          81 =    1 x 8           = 8

2

x          82 =    2 x 64         = 128

1

x          83 =    1 x 512       = 512  +

                            = 651

Dengan bentuk persamaan:

 

= an.2n-1 + an-1.2n-2 + an-2.2n-3 + an-3.2n-4  dengan n (banyak digit) = 4 pada bilangan 1213o

= 1*83 + 2*82 + 1*81 + 3*80

= 512 + 128 + 8 + 3

= 651d

 

Sistem bilangan Hexadecimal

Adalah system yang menggunakan 16 symbol bilangan yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F untuk mewakili angkat 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E dan 15=F

 

Posisi Digit (dari kanan)

Position Value

1

160       =            1

2

161       =          16

3

162       =        256

4

163       =      4096

5

164       =    65536

 

Sehingga:

Bilangan 1213o atau 12138

Dinyatakan dalam bentuk decimal

1C 1A

A

x          160 =   =    10 x 1                  = 10

1

x          161 = =    1 x 16                  = 16

C

x          162 = =    12 x 256              = 3072

1

x          163 = =    1 x 4096              = 4096  +

                                    = 7194

Dengan bentuk persamaan:

 

= an.2n-1 + an-1.2n-2 + an-2.2n-3 + an-3.2n-4  dengan n (banyak digit) = 4 pada bilangan 1C1A

= 1*83 + 12*162 + 1*161 + 10*160

= 4096 + 3072 + 16 + 10

= 7194h

 

Tabel Konversi Bilangan Oktal dan Hexadesimal

 

Hexa

Oktal

4 bit Binary-Oktal

4 bit Binary-Hexa

0

0

0000

0000

1

1

0001

0001

2

2

0010

0010

3

3

0011

0011

4

4

0100

0100

5

5

0101

0101

6

6

0110

0110

7

7

0111

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

 

Catatan:  Konversi Bilangan Oktal dan Hexa dalam pengkonversiannya melalui tahap konversi ke binary terhadap bilangan-bilangan tersebut. Untuk Oktal mengelompokkan per 3 digit bilangan binary sedangkan untuk bilangan hexa mengelompokkan per 4 digit bilangan binary.

 

Contoh:           101101011 untuk ke octal maka         101  101  011

 

Dibaca pada table di atas maka            5      5      3

Sehingga jika dikonversi dalam bilangan octal adalah 553o = 5538

 

Contoh:           101101011 untuk ke hexa maka         1    0110  1011

 

Dibaca pada table di atas maka          1       5      A

Sehingga jika dikonversi dalam bilangan octal adalah 15Ad = 15A16